Quando vogliamo calcolare l’area o il perimetro di un poligono (come un triangolo, o un quadrilatero) utilizziamo formule specifiche a seconda dell’oggetto geometrico che stiamo considerando.
In questa lezione elenchiamo le formule principali per determinare alcune grandezze relative a una circonferenza e al cerchio che essa determina.
Per una circonferenza con raggio di misura $r$, abbiamo:
Lunghezza della circonferenza: $C = 2 \pi r$
Area del cerchio: $A = \pi r^2$
Raggio: $r = \frac{C}{2 \pi} = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$
Diametro: $d = 2r$
Consideriamo ora il seguente disegno:
Utilizzando la definizione di radiante, e supponendo che l’angolo al centro $\alpha$ sia espresso in radianti, possiamo determinare la misura dell’arco $\overset{\frown}{AB}$ in questo modo: $$\overset{\frown}{AB} = \alpha \cdot r.$$ L’area del settore circolare è invece così determinata: $$Area(AOB) = \frac{1}{2} r^2 \alpha = \frac{1}{2}r \cdot \overset{\frown}{AB}.$$
Inoltre, utilizzando la funzione trigonometrica $\sin(x)$, è possibile ricavare la lunghezza della corda $AB$: $$AB = 2r \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ) = d \sin \left ( \frac{\alpha}{2} \right ).$$
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino
Il questo video si spiega come trovare le coordinate del centro e il raggio di una circonferenza data la sua equazione.
I metodi illustrati sono due: quello classico di applicazione delle formule e quello del completamento dei quadrati. Quest’ultimo in particolare è molto interessante da imparare perché permette di trovare centro e raggio senza fare uso delle formule e cioè senza memorizzare nulla, solamente attraverso qualche passaggio matematico a partire proprio dall’equazione stessa della circonferenza.
Le formule invece sono le seguenti: data l’equazione della circonferenza in forma esplicita $x^2 + y^2 + a x + b y + c = 0$, il centro è il punto di coordinate $C \equiv (-\frac{a}{2};-\frac{b}{2})$, mentre il raggio misura $ \displaystyle{r = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{b}{2}\right)^2 -c }}.$
Il metodo viene illustrato in modo generale e poi per ogni passaggio della spiegazione viene fornito un esempio particolare, come fosse un esercizio.
___A____
3,14
Formule dell'area e della circonferenza del cerchio
Area
Cerchio
E' una superficie piana limitata da una linea curva che ha tutti i suoi punti ugualmente distanti da un punto interno detto centro. La linea curva che chiude il cerchio si chiama circonferenza.
Raggio
E' il segmento che unisce il centro del cerchio con qualsiasi punto della circonferenza.
Diametro
E' il segmento che unisce due punti della circonferenza passando per il centro. Misura due volte il raggio
Misura della circonferenza
L'area del cerchio si ottiene moltiplicando il raggio per se stesso e il prodotto per 3,14
A = r x r x 3,14
r =
Il raggio � dato dalla radice quadrata dell'area diviso 3,14
La lunghezza della circonferenza si trova moltiplicando il raggio per 2 e poi per 3,14
C = 2 x r x 3,14 oppure C = r x 2 x 3,14 ovvero C = r x 6,28
A = Area C = Circonferenza r = raggio d = diamentro
A = r ² x 3,14
raggio
r = ___ C___ 2 x 3,14
r = ___C___ 6,28
raggio = Circonferenza diviso 2 volte 3,14 cio� 6,28
raggio